判决反馈均衡器（下）»
Part4 瞬态波形和眼图
判决反馈均衡器DFE(上）章节中提到的不同结构，其瞬态波形会存在差异。其采样前的眼图直观反映了采样器的幅度Margin和CDR采样时刻的裕度。
为了对比，这里使用VerilogA理想模型，激励条件尽可能保持了一致。模型数据率为10GT/s，输入信号为800mVppd。信道插入损耗约为10dB@5Ghz，无CTLE，仅DFE补偿，2个Tap。通过信道后，采样前数据眼图如图1所示。
全速率直接反馈结构的瞬态相关波形和稳态眼图分别如图2和3。
收敛过程如动图4所示。可以比较明显观察到dfe补偿作用会导致采样时钟发生前移。
半速率直接反馈结构的瞬态相关波形和稳态眼图分别如图5和6。图5可以看到加法器输入和加法器奇偶输出波形，通过interleave方式交替采样。
图7是奇偶路收敛过程的眼图。
图8和图7一样，也是改进型半速率直接反馈结构的眼图，不知道大家能否看出差异?
对于预判式全（半）速率结构其瞬态波形和眼图和上述两种直接反馈结构类似，只是tap1分量没有在summer节点上体现，需要根据判断出的数据选择对数据进行tap1量的加或者减。
Part5 DFE对边沿的影响
传统2x过采样CDR，通过edge定位锚定data采样位置，edge位置的抖动和分布实际上会影响到data采样的裕量，特别是在比较大插入损耗的情况下，眼睛裕量本身就比较小。
前边一系列动图可以明显看到dfe对采样时钟的相位影响，随着各tap补偿量的逐渐增加，采样时钟相位在cdr的调节下，相位逐步前移。cdr相位锁定位置的变化，反应了dfe对边沿的影响。
图9简单说明了DFE Tap1量的加减对边沿的影响，实际边沿数据变化和数据pattern，Tap阶数，响应时间密切相关。对于1-0的数据转换，pattern类型为110，可以看到Tap1量导致边沿提前；而pattern类型为010，因为存在tap1量符号反向，对边沿的影响和Tap量响应时间相关。
实际上，对于多Tap的DFE补偿，边沿包含了历史多位数据的影响。综合影响评估需要结合具体电路实现。
其实，最明显的边沿影响，是预判式结构。因为Tap1量加减处理是在summer之后。如果不对edge采样进行处理，锁定后的数据采样位置就会偏后。如图10所示。
那么该如何解决这个问题呢？这里就留给大家做个思考吧。
图11是对edge补偿处理后的结果，可以看到等效的眼图收敛结果更优。
另外对2x过采样CDR时钟相位的影响。也需要考虑data和edge的先后顺序，和具体电路实现结构密切相关，具体哪种顺序更优，需要仔细评估。
这里总结下几种结构理想情况DFE收敛值情况，仅供参考。
最后送上，用Matlab工具SerDes Toolbox计算的结果合成的封面图的近似收敛过程。
Part6 自适应算法简介
目前，自适应滤波器理论已经非常成熟，在通信和消费领域也有着广泛的应用。例如信道均衡，波束成形，噪声消除等。如图14所示。
自适应滤波器如图15，简单来讲，就是通过调整滤波器，使滤波器输出信号和目标信号接近或者相等。主要是(非)线性离散时间系统对离散信号的处理。通常使用性能函数(Performance Function)，评估不同滤波器系数的性能。比如用误差信号的均方误差(Mean-Squared Error,MSE)。最小均方误差的滤波器，又称之为维纳滤波器(Wiener Filter)。各种自适应算法就是要得到滤波器的维纳解(Wiener Solution)。
在通信领域，自适应滤波器主要用作信道均衡(Channel Equalization)，如图16所示。图中信道H(z)是信道传递函数。噪声v(n)可以看做是串扰及噪声等非理想因素的组合。图中均衡器W(z)就是要消除码间干扰，降低串扰和噪声影响的自适应滤波器，均衡器输出y(n)需要满足量化输出的数据在规定的误码率范围内。
图17是维纳滤波器的数学推导1，滤波器系数满足维纳-霍普方程，维纳解形式包含输入数据自相关矩阵R，输入数据和目标数据的互相关向量p的关系。可以看到维纳解是可以一步到位，但会涉及比较复杂的矩阵运算量。
另一种方法通过迭代搜索算法，从任意一个Tap权重向量wi，逐步迭代收敛到最优权重向量wo。这里就要提到基于梯度的最速下降法(method of steepest descent)。图18[2]给出个动画，还是比较形象的说明了梯度下降法，整个性能误差面一定会存在最低点(可能包含多个局部最低点)，这个点也就是维纳解的位置。
基于梯度的最速下降示意图及推导过程如图19所示。可以看到基于梯度的最速下降法能够以最快的方式按照负梯度方向，朝着维纳解位置运动。同时，迭代步长增益μ和自相关矩阵R的特征根λi需要满足一定的关系从而保证收敛过程的稳定性。
图19中基于梯度的最速下降法还是需要知道自相关矩阵R和互相关矩阵p。计算过程还是比较复杂。我们知道前述梯度是误差平方期望的梯度，如果我们用瞬时误差梯度代替期望误差梯度，则可以简化迭代过程为LMS算法实现，如图20所示。
图20的LMS迭代过程使用了瞬时误差e(n)和历史数据矩阵**x(n)**。还是会涉及到浮点运算（乘法和加法）。运算硬件消耗也是比较大。于是就有了图21所示的简化版本。主要是误差或者历史数据的符号化。可以不同程度简化计算复杂度。不过图中也可以简化计算的代价是收敛时间，还有可能残余更大的均方误差MSE。
判决反馈均衡器(Decision Feedback Equalizer,DFE)，正如其名字所示，需要通过历史判决值，构成反馈FIR滤波器，对输入信号进行补偿。如图22所示。需要注意的是，图中Tap反馈到加法器为负，也就是实现减法。同时误差信号的定义和前述基本滤波器定义也是相反的。负负为正。因此权重迭代表达式符号也和前述结果相同。
图22中当采样器量化精度为1bits时，就实现图21中sign-sign LMS，实际电路实现时，通过分时复用和模版数据选择，可以进一步降低硬件实现成本。
当滤波器收敛后，tap系数趋于稳定。滤波器输出值和输入数据及量化误差的传递函数如图23所示。
图24是简单的一阶DFE传递函数及零极点分布，可以看到信号传递函数是高通(高阶DFE频响特性不一定具有全频段的高通特性)，衰减低频，提升高频。从而补偿输入数据的拖尾。误差传递函数整体增益是衰减的。
